Алексей Кулешов родился в Подмосковье 24 февраля 1979 года. Основным увлечением в детстве являлся спорт в целом, и волейбол в частности, поэтому неудивительно, что достаточно быстро Алексей Кулешов решил заниматься волейболом на профессиональном уровне. И не ошибся, так как впоследствии, длительные и упорные тренировки привели его на олимпийский пьедестал. Первый тренер Алексея – знаменитый В. Ананьин, благодаря которому юноша понял, что у него хватит сил, чтобы достичь больших успехов в спортивной карьере. В восемнадцатилетнем возрасте, Кулешова приглашают в состав национальной сборной России по волейболу, с которой он выступает на многих международных соревнованиях и неоднократно занимает призовые места.

Алексей Владимирович Кулешов является способным спортсменом и прекрасным нападающим в волейболе – о таких волейболистах говорят, что они спортсмены «от бога». На данный момент, Алексей представляет интересы спортивного объединения ВЦ «Искра». Нынешним наставником Кулешова является З. Гаич. На пекинских Олимпийских играх, которые состоялись в 2008 году, Алексей Кулешов показал блестящую игру. Многие специалисты утверждают, что именно благодаря этому спортсмену, сборная России по волейболу заняла призовое третье место и пополнила копилку России бронзовой наградой.

Среди наград, которыми удостаивался Алексей Кулешов, следует отметить серебряную медаль, которую он получил на Чемпионате Мира в составе сборной в 2002 году, а через пять лет такую же медаль получил на Чемпионате Европы. Алексей Кулешов – четырехкратный чемпион России, призер Кубка России, дважды победитель в Мировой Лиге, а также трехкратный участник Олимпийских игр, в которых стал обладателем серебряной медали и двух бронзовых наград. Третьи Кулешов места занимал на Олимпийских играх в Пекине и Афинах.